De distributiviteit

Een belangrijke eigenschap in de rekenkunde is de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling. Dat is een hele mondvol. Misschien is het daarom dat veel mensen fouten maken tegen die eigenschap. In symbolen ziet het er zo uit:

A x (B + C) = A x B + A x C

Onderaan geven we het bewijs voor deze formule, maar we kunnen gemakkelijk zien met enkele voorbeelden dat dit waar is:

2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16

en ook

2 x (3 + 5) = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16

De eerste keer hebben we eerst uitgewerkt wat tussen haakjes staat. De tweede keer hebben we de distributiviteit gebruikt. Het resultaat is hetzelfde.

Waar gaat het mis?

Wanneer in een lange berekening met symbolen iets opduikt dat lijkt op de distributiviteit van de x tov de +, dan zie je soms dat die eigenschap toegepast wordt, terwijl ze niet waar is. Vooral bij een opeenvolging van vermenigvuldigingen, waar overbodige haakjes staan, raakt men soms in de war:

FOUT: A x (B x C) = A x B x A x C

FOUT: A x (B x C) = A x B + A x C

Het ziet er misschien uit als een distributieve eigenschap, maar tussen de haakjes staat een "x" en geen +. De juiste manier om dit uit te werken, is te beseffen dat de vermenigvuldiging associatief is, en de haakjes hier niet toe doen:

JUIST: A x (B x C) = A x B x C

Een andere foute toepassing is te denken dat de optelling distributief is tov de vermenigvuldiging:

FOUT: A + (B x C) = (A + B) x (A+C), waarna het snel bergaf gaat met de oefening.

JUIST: A + (B x C) = A + BxC, want de haakjes staan er voor niks. De vermenigvuldiging heeft toch voorrang.

In de naakte vorm en de juiste context zien de meesten het wel. Maar midden in een oefening over iets anders loopt het soms fout.

Oefeningen

(2A x 3B) x (A x 5B) =

(2A x 3B) + (A x 3B) =

(2A + 3B) x (A + 3B) =

(2A + 3B) x (A x 3B) =

Waarom maken mensen fouten?

De meeste mensen maken fouten omdat ze sterk visueel gericht zijn en een patroon herkennen dat er niet is. Ze zien de vorm met bewerkingen en haakjes, die hen doet denken aan de formule. Een fout tegen deze eigenschap toont dat men de formule wel oppervlakkig kent, maar niet helemaal begrijpt wat er achter zit. Voor leerkrachten: het betekent dat men de diepere relatie tussen vermenigvuldiging en optelling niet helemaal doorgrondt en de operatoren een eigen leven gaan leiden.

De remedie kan er in bestaan om terug te vallen op getallen en de eigenschap concreet aan het werk te zien. Bij getallen zien de meesten wél het directe verband tussen maal en plus, wat ze bij symbolisch rekenen kwijt raken.

Bewijs van de eigenschap

Voor de liefhebbers, het bewijs dat A x (B + C) = A x B + A x C

A x (B +C) = (B +C) + (B +C) + ... + (B +C) , en dit A keren, want dat is de definitie van een vermenigvuldiging

wegens de associativiteit van de optelling mogen we alle haakjes verwijderen ...

= B + C + B + C + ... + B + C, nog altijd A keren

... en de B's en de C's veranderen van plaats. We zetten alle B's samen en alle C's:

= B+ B + ... + B + C + C + ... + C, en dit telkens A keren

= A x B + A x C