Wat stel je vast?

Wiskunde-onderwijs heeft verschillende doelen, waaronder het bevorderen van exact denken. Wie echter kritisch kijkt naar de lessen en oefeningen, merkt op dat er veel verdoken kameraderie in zit: "denk jij wat ik denk?"

Dit viel me weer eens op toen ik de volgende oefening zag:

De opdracht luidt:

"Teken een halfrechte, zodat je twee hoeken krijgt, Â1 en Â2.
Teken de bissectrice van Â1 en van Â2. Wat stel je vast?"

Het eerste deel van de oefening laat ruimte voor interpretatie. Er staat namelijk niet dat de halfrechte moet vertrekken uit het punt A. Een goed verstaander weet dat natuurlijk, want de hoeken dragen de namen A1 en A2. Maar een harde wiskundige zal opmerken dat je evengoed een halfrechte kan tekenen elders, die twee hoeken maakt, 0° en 360° groot.

Maar goed, de meeste mensen zullen wel zien dat een halfrechte vanuit A twee hoeken creëert en dat A1 en A2 gepaste namen zijn.

Dan volgt het tweede deel:

"Teken de bissectrice van A1 en A2". Opnieuw kan een slecht verstaander denken dat hij een halfrechte moet tekenen die tegelijk de bissectrice is van A1 en A2. Een accurate opdracht luidt "Teken de bissectrice van A1 en de bissectrice van A2".

Maar laat ons veronderstellen dat ook dit geen horde vormt voor de argeloze student. Als alle halfrechten getekend zijn, luidt de vraag "Wat stel je vast?"

"Wat stel je vast" - het eerlijke antwoord op die vraag kan vanalles zijn:

- niets
- 't is saai
- er staan vijf halfrechten die vertrekken uit A
- ...

Het verwàchte antwoord is "de bissectricen staan loodrecht op elkaar". Ik denk dat alleen mensen met een wiskundig inzicht deze vaststelling zullen maken, omdat ze de wiskunde achter die vaststelling al in hun hoofd hebben verricht. Mensen met minder inzicht zullen meerdere oefeningen nodig hebben, voor ze het patroon opmerken. Mensen zonder wiskundig inzicht zullen helemaal niks vaststellen.

Ik wil ook niet te streng zijn voor suggestieve oefeningen. Wiskundig inzicht aanscherpen is niet gemakkelijk. Onderwijs is meestal een kwestie van prikkelen wat er al is, of door herhaling de absolute basis aanbrengen. Zelden slaagt men er in te prikkelen wat héél diep verborgen zit.

Ik wil alleen waarschuwen dat dit soort oefeningen nooit op een test mag verschijnen. "Wat stel je vast" is een uitnodiging "denk zoals ik". Bij uitstek in de wiskunde moeten vragen zo gesteld worden dat het antwoord ondubbelzinnig kan gegeven worden, toch zeker op een toets.