Stelling van Thales

Tijdens de bijlessen ben ik een interesse beginnen ontwikkelen voor de grondslagen van de wiskunde, namelijk, kan je elke nieuwe stelling inderdaad bewijzen met voorheen vergaarde bouwstenen. Een interessant geval was de stelling van Thales, die stelt dat evenwijdige rechten evenredige lijnstukken bepalen op snijdende rechten.

Zelf heb ik die stelling bewezen met oppervlakten van driehoeken, een formule die op zijn beurt steunt op de oppervlakte van een rechthoek en inductie via rechthoekige driehoeken. De oppervlakte van een rechthoek bewijzen kan ik niet, maar het is ook geen axioma - dacht ik toch. Daar zit ik dus nog eventjes vast.

In het handboek gaan ze driest tewerk. Eerst tonen ze een hulpstelling aan, die een speciaal geval is van Thales, met gelijke lijnstukken. Dan tonen ze het onderling meetbare geval aan (de verhouding is rationaal) en dan het niet onderling meetbare geval (de verhouding is irrationaal). Dat laatste deel wordt dan bewezen door het interval waarin de verhouding zich bevindt oneindig klein te maken en te tonen dat beide verhoudingen tussen de lijnstukken zich daar bevinden, en dus gelijk zijn.

Dat betekent dat in het derde jaar humaniora een meetkundige stelling wordt bewezen door te steunen op het feit dat R de sluiting is van Q en dat een begrensde, stijgende rij in Q convergeert naar één reëel getal. Dat wordt zo niet gesteld uiteraard, maar er wordt een beroep gedaan op de intuïtie dat R voorgesteld kan worden door een lijn, dat die lijn helemaal vol zit en dat twee elementen van die lijn, gevangen in oneindig klein wordende intervallen, noodzakelijk gelijk zijn aan elkaar.

Mijn studente zei dat ze het finale argument in het bewijs niet goed begreep. Ik kan het geloven!