Stelling van Thales

Tijdens de bijlessen ben ik een interesse beginnen ontwikkelen voor de grondslagen van de wiskunde, namelijk, kan je elke nieuwe stelling inderdaad bewijzen met voorheen vergaarde bouwstenen. Een interessant geval was de stelling van Thales, die stelt dat evenwijdige rechten evenredige lijnstukken bepalen op snijdende rechten.

Zelf heb ik die stelling bewezen met oppervlakten van driehoeken, een formule die op zijn beurt steunt op de oppervlakte van een rechthoek en inductie via rechthoekige driehoeken. De oppervlakte van een rechthoek bewijzen kan ik niet, maar het is ook geen axioma - dacht ik toch. Daar zit ik dus nog eventjes vast.

In het handboek gaan ze driest tewerk. Eerst tonen ze een hulpstelling aan, die een speciaal geval is van Thales, met gelijke lijnstukken. Dan tonen ze het onderling meetbare geval aan (de verhouding is rationaal) en dan het niet onderling meetbare geval (de verhouding is irrationaal). Dat laatste deel wordt dan bewezen door het interval waarin de verhouding zich bevindt oneindig klein te maken en te tonen dat beide verhoudingen tussen de lijnstukken zich daar bevinden, en dus gelijk zijn.

Dat betekent dat in het derde jaar humaniora een meetkundige stelling wordt bewezen door te steunen op het feit dat R de sluiting is van Q en dat een begrensde, stijgende rij in Q convergeert naar één reëel getal. Dat wordt zo niet gesteld uiteraard, maar er wordt een beroep gedaan op de intuïtie dat R voorgesteld kan worden door een lijn, dat die lijn helemaal vol zit en dat twee elementen van die lijn, gevangen in oneindig klein wordende intervallen, noodzakelijk gelijk zijn aan elkaar.

Mijn studente zei dat ze het finale argument in het bewijs niet goed begreep. Ik kan het geloven!

Waarom wiskunde

Wiskunde staat bijna overal op het lessenrooster. Het is zodanig ingeburgerd als belangrijk vak dat haast niemand in vraag durft te stellen of wiskunde echt zo belangrijk is in ons onderwijs. Waarom geven en krijgen we eigenlijk wiskunde op school? Ik zie drie verschillende redenen:

1. Reken- en tekenvaardigheden aanleren

2. De taal van de wetenschap leren

3. Abstract leren denken

De vraag is dan: zijn die redenen nog van kracht? En is wiskunde de enige manier om die doelstellingen te bereiken.

1. Reken- en tekenvaardigheden zijn in een computergestuurde kenniswereld veel minder belangrijk geworden. Je moet nog wel weten wat je van plan bent, maar het reken- of tekenwerk kan je gerust overlaten aan een rekenmachine of computer. In het vijfde jaar van de Latijn-Wiskunde culmineerde ons onderricht in het tekenen van een grafiek van een functie, door de eerste, tweede afgeleide, de nulpunten en asymptoten te kennen. Dergelijk functie-onderzoek is nog altijd nuttig, maar de culminatie in een tekening is wat potsierlijk want de rekenmachine kan het beter. Op de lagere school leren we hoofdrekenen, maar als we eerlijk zijn, zijn er niet zo veel situaties meer waarin je dat moet kunnen. Het is belangrijk een schatting te kunnen maken om informatie te beoordelen, maar exact rekenen?

2. Wiskunde is de taal van de wetenschap en in die toegepaste vorm blijft alle nut overeind.

3. Leren abstract denken kan ook door denksporten te beoefenen, of te programmeren. Ik geloof dat formele logica en basisbeginselen van computerarchitectuur en programmeren een nuttiger manier zijn om abstract denken te ontwikkelen bij jonge studenten.

Wat stel je vast?

Wiskunde-onderwijs heeft verschillende doelen, waaronder het bevorderen van exact denken. Wie echter kritisch kijkt naar de lessen en oefeningen, merkt op dat er veel verdoken kameraderie in zit: "denk jij wat ik denk?"

Dit viel me weer eens op toen ik de volgende oefening zag:

De opdracht luidt:

"Teken een halfrechte, zodat je twee hoeken krijgt, Â1 en Â2.
Teken de bissectrice van Â1 en van Â2. Wat stel je vast?"

Het eerste deel van de oefening laat ruimte voor interpretatie. Er staat namelijk niet dat de halfrechte moet vertrekken uit het punt A. Een goed verstaander weet dat natuurlijk, want de hoeken dragen de namen A1 en A2. Maar een harde wiskundige zal opmerken dat je evengoed een halfrechte kan tekenen elders, die twee hoeken maakt, 0° en 360° groot.

Maar goed, de meeste mensen zullen wel zien dat een halfrechte vanuit A twee hoeken creëert en dat A1 en A2 gepaste namen zijn.

Dan volgt het tweede deel:

"Teken de bissectrice van A1 en A2". Opnieuw kan een slecht verstaander denken dat hij een halfrechte moet tekenen die tegelijk de bissectrice is van A1 en A2. Een accurate opdracht luidt "Teken de bissectrice van A1 en de bissectrice van A2".

Maar laat ons veronderstellen dat ook dit geen horde vormt voor de argeloze student. Als alle halfrechten getekend zijn, luidt de vraag "Wat stel je vast?"

"Wat stel je vast" - het eerlijke antwoord op die vraag kan vanalles zijn:

- niets
- 't is saai
- er staan vijf halfrechten die vertrekken uit A
- ...

Het verwàchte antwoord is "de bissectricen staan loodrecht op elkaar". Ik denk dat alleen mensen met een wiskundig inzicht deze vaststelling zullen maken, omdat ze de wiskunde achter die vaststelling al in hun hoofd hebben verricht. Mensen met minder inzicht zullen meerdere oefeningen nodig hebben, voor ze het patroon opmerken. Mensen zonder wiskundig inzicht zullen helemaal niks vaststellen.

Ik wil ook niet te streng zijn voor suggestieve oefeningen. Wiskundig inzicht aanscherpen is niet gemakkelijk. Onderwijs is meestal een kwestie van prikkelen wat er al is, of door herhaling de absolute basis aanbrengen. Zelden slaagt men er in te prikkelen wat héél diep verborgen zit.

Ik wil alleen waarschuwen dat dit soort oefeningen nooit op een test mag verschijnen. "Wat stel je vast" is een uitnodiging "denk zoals ik". Bij uitstek in de wiskunde moeten vragen zo gesteld worden dat het antwoord ondubbelzinnig kan gegeven worden, toch zeker op een toets.