Monday, December 13, 2010

Stelling van Thales

Tijdens de bijlessen ben ik een interesse beginnen ontwikkelen voor de grondslagen van de wiskunde, namelijk, kan je elke nieuwe stelling inderdaad bewijzen met voorheen vergaarde bouwstenen. Een interessant geval was de stelling van Thales, die stelt dat evenwijdige rechten evenredige lijnstukken bepalen op snijdende rechten.

Zelf heb ik die stelling bewezen met oppervlakten van driehoeken, een formule die op zijn beurt steunt op de oppervlakte van een rechthoek en inductie via rechthoekige driehoeken. De oppervlakte van een rechthoek bewijzen kan ik niet, maar het is ook geen axioma - dacht ik toch. Daar zit ik dus nog eventjes vast.

In het handboek gaan ze driest tewerk. Eerst tonen ze een hulpstelling aan, die een speciaal geval is van Thales, met gelijke lijnstukken. Dan tonen ze het onderling meetbare geval aan (de verhouding is rationaal) en dan het niet onderling meetbare geval (de verhouding is irrationaal). Dat laatste deel wordt dan bewezen door het interval waarin de verhouding zich bevindt oneindig klein te maken en te tonen dat beide verhoudingen tussen de lijnstukken zich daar bevinden, en dus gelijk zijn.

Dat betekent dat in het derde jaar humaniora een meetkundige stelling wordt bewezen door te steunen op het feit dat R de sluiting is van Q en dat een begrensde, stijgende rij in Q convergeert naar één reëel getal. Dat wordt zo niet gesteld uiteraard, maar er wordt een beroep gedaan op de intuïtie dat R voorgesteld kan worden door een lijn, dat die lijn helemaal vol zit en dat twee elementen van die lijn, gevangen in oneindig klein wordende intervallen, noodzakelijk gelijk zijn aan elkaar.

Mijn studente zei dat ze het finale argument in het bewijs niet goed begreep. Ik kan het geloven!

Friday, December 3, 2010

Waarom wiskunde

Wiskunde staat bijna overal op het lessenrooster. Het is zodanig ingeburgerd als belangrijk vak dat haast niemand in vraag durft te stellen of wiskunde echt zo belangrijk is in ons onderwijs. Waarom geven en krijgen we eigenlijk wiskunde op school? Ik zie drie verschillende redenen:

1. Reken- en tekenvaardigheden aanleren
2. De taal van de wetenschap leren
3. Abstract leren denken

De vraag is dan: zijn die redenen nog van kracht? En is wiskunde de enige manier om die doelstellingen te bereiken.

1. Reken- en tekenvaardigheden zijn in een computergestuurde kenniswereld veel minder belangrijk geworden. Je moet nog wel weten wat je van plan bent, maar het reken- of tekenwerk kan je gerust overlaten aan een rekenmachine of computer. In het vijfde jaar van de Latijn-Wiskunde culmineerde ons onderricht in het tekenen van een grafiek van een functie, door de eerste, tweede afgeleide, de nulpunten en asymptoten te kennen. Dergelijk functie-onderzoek is nog altijd nuttig, maar de culminatie in een tekening is wat potsierlijk want de rekenmachine kan het beter. Op de lagere school leren we hoofdrekenen, maar als we eerlijk zijn, zijn er niet zo veel situaties meer waarin je dat moet kunnen. Het is belangrijk een schatting te kunnen maken om informatie te beoordelen, maar exact rekenen?

2. Wiskunde is de taal van de wetenschap en in die toegepaste vorm blijft alle nut overeind.

3. Leren abstract denken kan ook door denksporten te beoefenen, of te programmeren. Ik geloof dat formele logica en basisbeginselen van computerarchitectuur en programmeren een nuttiger manier zijn om abstract denken te ontwikkelen bij jonge studenten.

Wednesday, December 1, 2010

Wat stel je vast?

Wiskunde-onderwijs heeft verschillende doelen, waaronder het bevorderen van exact denken. Wie echter kritisch kijkt naar de lessen en oefeningen, merkt op dat er veel verdoken kameraderie in zit: "denk jij wat ik denk?"

Dit viel me weer eens op toen ik de volgende oefening zag:


De opdracht luidt:

"Teken een halfrechte, zodat je twee hoeken krijgt, Â1 en Â2.
Teken de bissectrice van Â1 en van Â2. Wat stel je vast?
"

Het eerste deel van de oefening laat ruimte voor interpretatie. Er staat namelijk niet dat de halfrechte moet vertrekken uit het punt A. Een goed verstaander weet dat natuurlijk, want de hoeken dragen de namen A1 en A2. Maar een harde wiskundige zal opmerken dat je evengoed een halfrechte kan tekenen elders, die twee hoeken maakt, 0° en 360° groot.

Maar goed, de meeste mensen zullen wel zien dat een halfrechte vanuit A twee hoeken creëert en dat A1 en A2 gepaste namen zijn.


Dan volgt het tweede deel:

"Teken de bissectrice van A1 en A2". Opnieuw kan een slecht verstaander denken dat hij een halfrechte moet tekenen die tegelijk de bissectrice is van A1 en A2. Een accurate opdracht luidt "Teken de bissectrice van A1 en de bissectrice van A2".

Maar laat ons veronderstellen dat ook dit geen horde vormt voor de argeloze student. Als alle halfrechten getekend zijn, luidt de vraag "Wat stel je vast?"


"Wat stel je vast" - het eerlijke antwoord op die vraag kan vanalles zijn:
- niets
- 't is saai
- er staan vijf halfrechten die vertrekken uit A
- ...

Het verwàchte antwoord is "de bissectricen staan loodrecht op elkaar". Ik denk dat alleen mensen met een wiskundig inzicht deze vaststelling zullen maken, omdat ze de wiskunde achter die vaststelling al in hun hoofd hebben verricht. Mensen met minder inzicht zullen meerdere oefeningen nodig hebben, voor ze het patroon opmerken. Mensen zonder wiskundig inzicht zullen helemaal niks vaststellen.

Ik wil ook niet te streng zijn voor suggestieve oefeningen. Wiskundig inzicht aanscherpen is niet gemakkelijk. Onderwijs is meestal een kwestie van prikkelen wat er al is, of door herhaling de absolute basis aanbrengen. Zelden slaagt men er in te prikkelen wat héél diep verborgen zit.

Ik wil alleen waarschuwen dat dit soort oefeningen nooit op een test mag verschijnen. "Wat stel je vast" is een uitnodiging "denk zoals ik". Bij uitstek in de wiskunde moeten vragen zo gesteld worden dat het antwoord ondubbelzinnig kan gegeven worden, toch zeker op een toets.

Tuesday, November 30, 2010

De distributiviteit

Een belangrijke eigenschap in de rekenkunde is de distributiviteit van de vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling. Dat is een hele mondvol. Misschien is het daarom dat veel mensen fouten maken tegen die eigenschap. In symbolen ziet het er zo uit:

A x (B + C) = A x B + A x C

Onderaan geven we het bewijs voor deze formule, maar we kunnen gemakkelijk zien met enkele voorbeelden dat dit waar is:

2 x (3 + 5) = 2 x 8 = 16
en ook
2 x (3 + 5) = 2 x 3 + 2 x 5 = 6 + 10 = 16

De eerste keer hebben we eerst uitgewerkt wat tussen haakjes staat. De tweede keer hebben we de distributiviteit gebruikt. Het resultaat is hetzelfde.


Waar gaat het mis?

Wanneer in een lange berekening met symbolen iets opduikt dat lijkt op de distributiviteit van de x tov de +, dan zie je soms dat die eigenschap toegepast wordt, terwijl ze niet waar is. Vooral bij een opeenvolging van vermenigvuldigingen, waar overbodige haakjes staan, raakt men soms in de war:

FOUT: A x (B x C) = A x B x A x C
FOUT: A x (B x C) = A x B + A x C

Het ziet er misschien uit als een distributieve eigenschap, maar tussen de haakjes staat een "x" en geen +. De juiste manier om dit uit te werken, is te beseffen dat de vermenigvuldiging associatief is, en de haakjes hier niet toe doen:

JUIST: A x (B x C) = A x B x C

Een andere foute toepassing is te denken dat de optelling distributief is tov de vermenigvuldiging:

FOUT: A + (B x C) = (A + B) x (A+C), waarna het snel bergaf gaat met de oefening.
JUIST: A + (B x C) = A + BxC, want de haakjes staan er voor niks. De vermenigvuldiging heeft toch voorrang.

In de naakte vorm en de juiste context zien de meesten het wel. Maar midden in een oefening over iets anders loopt het soms fout.

Oefeningen

(2A x 3B) x (A x 5B) =

(2A x 3B) + (A x 3B) =

(2A + 3B) x (A + 3B) =

(2A + 3B) x (A x 3B) =


Waarom maken mensen fouten?

De meeste mensen maken fouten omdat ze sterk visueel gericht zijn en een patroon herkennen dat er niet is. Ze zien de vorm met bewerkingen en haakjes, die hen doet denken aan de formule. Een fout tegen deze eigenschap toont dat men de formule wel oppervlakkig kent, maar niet helemaal begrijpt wat er achter zit. Voor leerkrachten: het betekent dat men de diepere relatie tussen vermenigvuldiging en optelling niet helemaal doorgrondt en de operatoren een eigen leven gaan leiden.

De remedie kan er in bestaan om terug te vallen op getallen en de eigenschap concreet aan het werk te zien. Bij getallen zien de meesten wél het directe verband tussen maal en plus, wat ze bij symbolisch rekenen kwijt raken.

Bewijs van de eigenschap

Voor de liefhebbers, het bewijs dat A x (B + C) = A x B + A x C

A x (B +C) = (B +C) + (B +C) + ... + (B +C) , en dit A keren, want dat is de definitie van een vermenigvuldiging

wegens de associativiteit van de optelling mogen we alle haakjes verwijderen ...

= B + C + B + C + ... + B + C, nog altijd A keren

... en de B's en de C's veranderen van plaats. We zetten alle B's samen en alle C's:

= B+ B + ... + B + C + C + ... + C, en dit telkens A keren
= A x B + A x C



Thursday, June 17, 2010

De onbekende

In de rekenkunde gaan we dikwijls op zoek naar een onbekende. Bijvoorbeeld wanneer we willen weten "hoeveel euro is een biljet van 50 zloty waard, als een euro 4 zloty waard is"? (*)

Om die zin, dat vraagstuk, te vertalen in een wiskundige vergelijking, is menselijke intelligentie nodig. De onbekende zien we in het woord "hoeveel". We vervangen dat woord door X.

"X euro is een biljet van 50 zloty waard"

of kort geschreven

"X euro = 50 zloty"

of andersom

"50 zloty = X euro"

(*) (Zloty is de Poolse munteenheid. Wie naar Polen reist, wil zoiets weten. Je kan natuurlijk altijd op het Internet terecht, maar op straat kan het handig zijn in je hoofd de berekening te maken.)

Hierna gebruiken we het gegeven, dat 1 euro = 4 zloty, en lossen we het vraagstuk verder op.

Voorbeeld 2

De vraag is nu:

"Wat is het gemiddelde van 1, 3 en 5?"

We vervangen hier "Wat" door de onbekende, X

X = het gemiddelde van 1, 3 en 5

Hierna gebruiken we het feit dat je het gemiddelde vindt door de getallen op te tellen en te delen door het aantal getallen.

Voorbeeld 3

De aandelen van IBM zijn twee maal zo hoog als die van Microsoft. Ik heb drie aandelen van IBM en twee van Microsoft in mijn pakket, dat samen 5000 euro waard is. Hoeveel is elk aandeel waard?

De laatste vraag is een dubbele vraag. Hier zoeken we twee aandelen.
  1. Hoeveel is het aandeel van IBM waard?
  2. Hoeveel is het aandeel van Microsoft waard?
We hebben hier twee onbekenden, X en Y. We vervangen telkens "Hoeveel" door een onbekende:

  1. X is het aandeel van IBM waard
  2. Y is het aandeel van Microsoft waard
Daarna gaan we over tot het opstellen van het stelsel van vergelijkingen waarmee we dit vraagstuk moeten oplossen. Hoe je dit doet, leggen we een andere keer uit.

X= 2Y
3X+2Y=5000

Waarom X en niet een ander?

Waarom X, waarom niet A, of B, of "onbekende"? Dat is een afspraak. We gebruiken meestal X, Y en Z als onbekenden en beginnen met X. We kunnen ook andere letters gebruiken, maar X is het meest gebruikelijk. Zolang je binnen één vraagstuk dezelfde letter gebruikt voor dezelfde onbekende, zal je het vraagstuk even goed kunnen oplossen, of je de onbekende nu X noemt, of A, of m, of Gaga.



Voor leerkrachten

De reden waarom sommigen het lastig hebben om vraagstukken op te lossen, is dat ze niet gemakkelijk kunnen abstraheren van het woordelijke vraagstuk, naar het opstellen van de vergelijking(en). Het begint bij het herkennen van de onbekende(n). Voor sommigen kan het nuttig zijn een geïsoleerde oefening te maken zoals hierboven, waarbij het herkennen van de onbekende(n) de enige doelstelling is.